Ara s-sors ta' Derivata

Fil-[[Matematika]] id-'''derivata''' ta' [[Funzjonijiet (matematika)|funzjoni]] hija, mal-[[L-Integral|integral]], waħda mill-kolonni tal-[[analisi matematika]] u tal-[[kalkulu infiniteżmali]]. 

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni <math>\displaystyle{f}</math> f' punt <math>\displaystyle{x_0}</math> hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt <math>\displaystyle{(x_0,f(x_0))}</math>, jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' <math>\displaystyle{x}</math>. Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-''derivata ta' funzjoni'', għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

== Definizzjoni u notazzjoni ==
Fl-[[analisi matematika]] d-'''derivata''' ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali <math>\displaystyle{f}</math> fil-punt <math> \displaystyle{x_0} </math> hi definita bħala l-[[limitu ta' funzjoni|limitu]] tar-[[rapport inkrementali]] meta l-inkrement <math>\displaystyle{h}</math> jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni <math>\displaystyle{f}</math> definita f'[[inħawija]] ta' <math>\displaystyle{x_0}</math> ngħidu li hi '''derivabbli''' fil-punt <math>\displaystyle{x_0}</math> jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu: 

:<math>{\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}</math>

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b'<math>\displaystyle{f^\prime(x_0)}</math>, ngħidulu d- '''derivata''' tal-funzjoni fil-punt <math> \displaystyle{x_0} </math>. Jekk il-funzjoni <math>\displaystyle{f} </math> hi derivabbli f'kull punt tal-intervall <math>\displaystyle{(a,b)} </math>, ngħidu li hi derivabbli f'<math>\displaystyle{(a,b)} </math>, u l- funzjoni <math>\displaystyle{f ^{\prime}}</math> li tassoċja ma' kull punt <math>\displaystyle{x}</math> id-derivata ta' <math>\displaystyle{f}</math> f' <math>\displaystyle{x}</math>, insejħulha l-'''funzjoni derivata''' ta' <math>\displaystyle{f}</math>.

Id-derivata fil-punt <math>x_0</math> nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

* <math>f ^{\prime} (x_0),</math> skont in-notazzjoni ta' [[Lagrange]].

* <math>\operatorname D [{f}({x_0})],</math> skont in-notazzjoni ta' [[Cauchy]].

* <math> {\operatorname d f(x_0)}\over{\operatorname d x},</math> skont in-notazzjoni ta' [[Leibniz]]: l-ewwel li dehret storikament hi <math>({{\operatorname d f}\over{\operatorname d x}})_{(x_0)},</math> .

* <math>\dot f(x_0),</math> skont in-notazzjoni ta' [[Isaac Newton|Newton]].

== Derivata mill-lemin u mix-xellug ==
Jissejjaħ '''derivata mill-lemin''' ta' <math>\displaystyle{f}</math> f'<math>\displaystyle{x_0}</math> il-limitu:

<math>\lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}</math>

Jissejjaħ '''derivata mix-xellug''' ta' <math>\displaystyle{f}</math> f'<math>\displaystyle{x_0}</math> il-limitu:

<math>\lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}</math>

Funzjoni hi derivabbli f'<math>\displaystyle{x}</math> jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk <math>\displaystyle{f}</math> hi definita f'l-intervall magħluq <math>\displaystyle{[a,b]}</math>, ngħidu li <math>\displaystyle{f}</math> hi derivabbli f'<math>\displaystyle{[a,b]}</math> jekk hi derivabbli f'kull punt intern <math>\displaystyle{x}</math> ta' <math>\displaystyle{(a,b)}</math>, u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf <math>\displaystyle{x=a}</math> u <math>\displaystyle{x=b}</math>.

== Tifsira ġometrika tad-derivata ==

[[Stampa:Derivata.jpg|thumb|right|400px|Il-linja dritta ħamra hi t-tanġent mal-funzjoni ''f(x)'' fil-punt ''x''<sub>0</sub>]]

Il-[[valur]] tad-derivata ta' <math>f</math> ikkalkulat f'<math>x_0</math> għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-[[koeffiċjent angulari]] tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' <math>f</math>, fil-punt bil-koordinati <math>(x_0,\,f(x_0))</math>.

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt <math>(x_0,\,f(x_0))</math> tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f'<math>x_0</math> hija: 

<math>y = f(x_0) + f '(x_0)(x-x_0).\;</math>

Iżjed preċiż, jekk <math>f</math> hi derivabbli fil-punt <math>x_0</math>, teżisti funzjoni <math>o(x-x_0)</math> definita f'[[inħawija]] ta' <math>x_0</math> tali li: 

<math>f(x) = f(x_0) + f '(x_0) (x - x_0)  + o(x-x_0)\;</math>

fejn

<math>\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = 0 .</math> 

Ngħidu li <math>\displaystyle{o(x-x_0})</math> hu ''infiniteżmu ta' ordni ogħla'' mill-funzjoni <math>x-x_0</math>. B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini <math>o(x-x_0)</math> jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn <math>x_0</math>.


Niddefinixxu <math>\displaystyle{o(x-x_0)}</math> b'l-istess dominju ta' <math>f</math>, bħala:
:<math> \displaystyle{o(x-x_0) = f(x) - f(x_0) - f '(x_0) (x - x_0)} </math>
u nivverifikaw li:
:<math>\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = \lim_{x \to x_0}\left({{f(x)-f(x_0)}\over{x-x_0}} - f '(x_0)\right). \ \ \ (1)</math>
Niftakru li għal :<math>x \to x_0</math> għandna :<math>x-x_0 \to 0</math> mela :<math> h = x-x_0.</math>

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

:<math>\lim_{h \to 0}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}} - f '(x_0) = 0</math>

u nikkonfermaw it-teżi.

== Teorema tal-kontinwità ==
<div style="border: 1px solid #BBB;padding:0.4em; background-color:#efefef; margin:0.4em;-moz-border-radius: 1em">
<div style="font-style: italic"><span style="font-size:100%">Teorema:</span> <span style="text-trasform: uppercase; color:#018">Teorema tal-kontinwità</span></div>
<div style="border-top: 2px solid #888; border-bottom: 2px solid #888; padding-left:1em; font-style: italic; background-color: white; margin-bottom:-0.3em">
It-teorema jgħid li jekk <math>f</math> tkun derivabbli f'<math>x_0</math> imbagħad tkun ukoll [[funzjoni kontinwa|kontinwa]] f'<math>x_0</math>. 
</div>
</div><noinclude>

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni <math>f(x) = |x|</math> hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt <math>x=0</math>, għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.
 
'''Prova tat-Teorema:'''

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:
:<math>\displaystyle{f(x)= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)}</math>
minn fejn niksbu:
:<math>\lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}\left ({f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)} = f(x_0)\right ).</math>
Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'<math>x_0</math>.

=== Funzjonijiet mhux derivabbli ===
Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:
* [[punt angoluż]],
* [[kuspidi (matematika)|kuspidi]] jew [[qarsa]],
* [[fless]] bit-tanġent vertikali,

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-[[funzjoni ta' Cantor]].

== L-<math>n</math>-il Derivata ==
L-"<math>\displaystyle{n}</math> -il derivata", <math>\displaystyle{f^{(n)}}</math >, ta' funzjoni <math>\displaystyle{f}</math> hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni <math>\displaystyle{n}</math> darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu '''it-tieni derivata''', '''it-tielet derivata''', '''il-ħmistax-il derivata''' etc... u nużaw din in-notazzjoni:
: <math>f'' = f^{(2)} = {{\mathrm{d}^2f}\over{\mathrm{d}x^2}},</math> 
: <math>f''' = f^{(3)} = {{\mathrm{d}^3f}\over{\mathrm{d}x^3}},</math>,
: ...
: <math>f^{(n)} = {{\mathrm{d}^nf}\over{\mathrm{d}x^n}}</math> 

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli <math>\displaystyle{n}</math>-il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

:<math>\displaystyle{f(x) = x |x|}.</math>

Infatti id-derivata ta' <math>f</math> hi <math>f\,'(x)=2|x|</math>, li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

== Teoremi ==
Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

=== Teorema ta' [[Fermat]] ===

{{Matematika|Teorema|Teorema ta' Fermat|
Jekk il-funzjoni <math>\displaystyle{f}</math> tkun derivabbli, u allura kontinwa, f'punt <math>\displaystyle{x_0}</math> fl-intern tad-[[dominju (matematika)|dominju]] ta' <math>\displaystyle{f}</math> li jkun punt [[massimu]] jew [[minimu]] tal-funzjoni, imbagħad id-derivata tal-funzjoni f' <math>\displaystyle{x_0}</math> tkun nulla, jiġifieri <math>\displaystyle{f^\prime (x_0) = 0}</math>. 
}}

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' [[massimu]] jew ta' [[minimu]] fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt <math>\displaystyle{x} </math> fejn <math>\displaystyle{f^\prime(x)} </math> hi żero ngħidulu [[punt stazzjonarju]]. Allura il-punti ta' [[massimu]] u ta' [[minimu]] huma stazzjonarji.

'''Osservazzjonijiet:'''<br />
* hu neċessarju li <math>\displaystyle{x_0}</math> tkun punt ġewwieni tad-dominju
* il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt <math>\displaystyle{x_0}</math>, inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

'''Prova:'''<br />
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li <math>\displaystyle{x_0}</math> hu punt ta' massimu u għalhekk <math>\displaystyle{f(x_0)}</math> hu valur massimu tal-funzjoni f' <math>\displaystyle{(a,b)}</math>; il-prova hija l-istess fil-każ li <math>\displaystyle{x_0}</math> jkun punt ta' minimu għal <math>\displaystyle{f}</math>.<br /> 
Inħarsu lejn ir-[[rapport inkrementali]]: <math> {{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}}. </math><br />
In-numeratur <math>f(x) - f(x_0) \le 0\ \forall x \in (a,b)</math> għaliex, bl-ipoteżi, <math>\displaystyle{x_0}</math> hu punt ta' massimu u għalhekk <math>f(x_0) \ge f(x)\ \forall x \in (a ,b)</math>.<br />

Mela nistgħu ngħidu li :<br />
* <math>{{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \ge 0</math> jekk <math>\displaystyle{x<x_0}</math>, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;<br />
* <math>{{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \le 0</math> jekk <math>\displaystyle{x>x_0}</math>, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.<br /> 
Isegwi, bit-[[teorema tal-permanenza tas-sinjal]] li: <br />
* <math>f'(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-}{{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \ge 0,</math><br />
* <math>f'(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+}{{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \le 0.</math><br />
Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni <math>\displaystyle{f}</math> hi derivabbli f' <math>\displaystyle{x_0}</math> u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f'<math>\displaystyle{x_0}</math> jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin <math>\leq 0</math> u <math>\geq 0</math>, u mela hu null, kif ridna nuru.

=== Teorema ta' Rolle ===
{{Matematika|Teorema|Teorema ta' Rolle|Ħalli <math>\displaystyle{f}</math> tkun funzjoni kontinwa fl-intervall magħluq <math>\displaystyle{[a,b]}</math> u derivabbli fl-intervall miftuħ <math>\displaystyle{(a,b)}</math>. Jekk <math>\displaystyle{f(a)=f(b)}</math>,imbagħad jeżisti punt <math>\displaystyle{x_0}</math> ġewwa l-intervall miftuħ <math>\displaystyle{(a,b)}</math> fejn l-ewwel derivata tkun nulla, <math>\displaystyle{f^\prime(x_0)=0}</math>.
}}

=== Teorema ta' [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] ===

{{Matematika|Teorema|Teorema ta' Lagrange|
Ħalli <math>\displaystyle{f}</math> tkun funzjoni kontinwa f' <math>\displaystyle{[a,b]}</math> u derivabbli f' <math>\displaystyle{(a,b)}</math>, imbagħad jeżisti mill-inqas  punt wieħed <math>\displaystyle{x_0}</math> ġewwa <math>\displaystyle{(a,b)}</math> li għalih: 

<math>f'(x_0) = {{f(b) - f(a)} \over {b-a}}.</math> 
}}

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, 
<math>(x_0,\, f(x_0))</math>,
fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-[[Korda (ġometrija)|korda]] dritta li tgħaddi mill-punti 
<math>(a,\, f(a))</math>
u 
<math>(b,\, f(b))</math>.

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn
<math>\displaystyle{f(a)}</math> hi differenti minn <math>\displaystyle{f(b)}</math>;
jekk <math>\displaystyle{f(a)}</math> hi daqs <math>\displaystyle{f(b)}</math> nerġgħu niksbu it-[[Teorema ta' Rolle]].

=== Teorema ta' [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] ===

{{Matematika|Teorema|Teorema ta' Cauchy|Ħalli <math>\displaystyle{f}</math> u <math>\displaystyle{g}</math> jkunu funzjonijiet kontinwi f' <math>\displaystyle{[a,b]}</math> u derivabili f' <math>\displaystyle{(a,b)}</math> u <math>\displaystyle{g(x)}</math> differenti minn 0 għal kull punt tal-intervall, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed <math>\displaystyle{x_0 }</math> li qiegħed f' <math>\displaystyle{(a,b})</math> li għalih: 

<math>{f'(x_0) \over g'(x_0)} = {{f(b) - f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.</math> 
}}
Jekk inpoġġu <math>\displaystyle{g(x)=x}</math>, niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

=== Teorema żdieda-tinqis ===

{{Matematika|Teorema|Teorema żdieda-tinqis|

Jekk <math>\displaystyle{f} </math> tkun kontinwa f' <math>\displaystyle{[a,b]}</math> u derivabbli f' <math>\displaystyle{(a,b)} </math>, imbagħad :

* <math>\forall x \in (a,b) \ f'(x) \geq 0 </math> jekk u biss jekk il-funzjoni tiżdied f' <math>\displaystyle{(a,b)} </math>,

* <math>\forall x \in (a,b) \ f'(x) \leq 0 </math> jekk u biss jekk il-funzjoni tonqos f' <math>\displaystyle{(a,b)} </math>.
}}

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) ''strettament''. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange. 

Għandna wkoll:.

* Jekk <math>\forall x \in (a,b) \ f'(x) > 0 </math>, il-funzjoni tiżdied strettament f' <math>\displaystyle{(a,b)} </math>

* Jekk <math>\forall x \in (a,b) \ f'(x) < 0 </math>, il-funzjoni tonqos strettament f' <math>\displaystyle{(a,b)} </math>

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju
:<math>\displaystyle{f(x) = x^3}</math>
hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm [[punt ta' fless]]).

=== Teorema tal-funzjoni kostanti ===

{{Matematika|Teorema|Teorema tal-funzjoni kostanti|
Funzjoni hi [[kostanti]] fl-[[intervall]] <math>\displaystyle{[a,b]}</math> jekk u biss jekk hi derivabbli u d-derivata hi kullimkien nulla fl-intervall.
}}

== Derivata ta' funzjonijiet vettorjali ==
[[Funzjoni vettorjali]] ngħidulha derivabbli fil-punt <math>\ x</math> jekk jeżisti u hu finit il-limitu
:<math>\mathbf{f}'(x)=\lim_{h\to 0}{{\mathbf{f}(x+h) - \mathbf{f}(x)}\over{h}}.</math>

Billi l-argument tal-limitu hu [[vettur (matematika)|vettur]], ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' <math>\ f</math> hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:
:<math>\mathbf{f}'(x)=( f'_1(x),f'_2(x),...,f'_n(x))</math>.

== Derivabbiltà f'<math>\ {\mathbb{R}^{\rm n} }</math> ==
Funzjoni <math>\, f</math> ngħidulha derivabbli f'<math>\ {\mathbb{R}^{\rm n} }</math> jekk jeżistu u huma finiti d-[[Derivata parzjali|derivati parzjali]] tagħha kollha.

== Konvessità ==
Ħalli <math>f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni <math>\ f</math> hi:

* konvessa f' <math>\ [a,b]</math> jekk <math>\forall x_0 \in [a,b]</math> il-grafiku tal-funzjoni f' <math>\ [a,b]</math> jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt <math>\ (x_0,\, f(x_0) ) </math>. 
Bis-simboli:

<math> f(x) \geq f(x_0) + f'(x)(x - x_0)\ \forall x, x_0 \in [a,b].</math>

* konkava f' <math>\ [a,b]</math> jekk <math>\forall x_0 \in [a,b]</math> il-grafiku tal-funzjoni f' <math>\ [a,b]</math> jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt <math>\ (x_0,\, f(x_0) ) </math>. 

Bis-simboli:

<math>f(x) \leq f(x_0) + f'(x)(x - x_0)\ \forall x, x_0 \in [a,b].</math>

== Derivata ta' serje ta' potenzi ==

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala [[serje ta' potenzi]] <math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n</math> b' [[raġġ ta' konvergenza]] <math>\ r</math>, 
hi derivabbli fuq l-intervall <math>(-r,\, r)</math> kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:
:<math>f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}</math>
Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-i[[żvilupp ta' Taylor]] u McLaurin.

== Derivata formali ==
Fit-[[teorija taċ-ċrieki]] nintroduċu l-idea ta' '''derivata formali''' bħala l-operatur <math>\partial</math> li jissodisfa:
* <math>\partial(u + v) = \partial u + \partial v</math> (l-operazzjoni hi [[trasformazzjoni linjari|linjari]])
* <math>\partial (u \cdot v) = u \cdot \partial v + \partial u \cdot v</math> (ir-[[regola ta' Leibniz]]).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-[[Polinomio#Derivata formale|derivata formali ta' polinomju]], sfruttata, fost postijiet oħra, fil-[[ġometrija alġebrija]].

{{portal|Matematika|P_math.png}}

[[Kategorija:Matematika|Derivata]]
[[Kategorija:Analisi matematika|Derivata]]