Ara s-sors ta' Funzjonijiet (matematika)

[[Stampa:funzjoni.jpg|lemin]]
Fil-[[matematika]], '''funzjoni''' <math>\ f</math> minn <math>\ X</math> għal <math>\ Y</math> hi magħmula minn:

1) [[sett]] <math>\ X</math> imsejjaħ id-'''[[dominju (matematika)|dominju]]''' ta' <math>\ f</math>

2) sett <math>\ Y</math> imsejjaħ il-'''[[kodominju]]''' ta’ <math>\ f</math>

3) '''liġi''' li ma' kull element <math>\ x</math> f' <math>\ X</math> tassoċja element wieħed u wieħed biss <math>\ f(x)</math> f' <math>\ Y</math>.

<math>\ x</math> jissejjaħ l-'''argument''' tal-funzjoni, jew inkella il-'''[[varjabbli]] indipendenti''', waqt li <math>\ f(x)</math> huwa l-'''valur''' tal-funzjoni, jew inkella l-'''varjabbli dipendenti'''. 

Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma' "funzjoni":
<br />
"'''applikazzjoni'''", "'''operatur'''", "'''mappa'''", "'''relazzjoni binarja univoka'''", "'''trasformazzjoni'''".

Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika.

== Eżempji ==
L-iżjed eżempji sempliċi ta’ funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Pereżempju, jekk ma’ kull numru nassoċjaw id-doppju ta’ dak in-numru, ikollna funzjoni. 
Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta’ numri. 
Pereżempju, jekk ma’ kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih.

Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b’iżjed argumenti, jew b’iżjed valuri, pereżempju, funzjoni li l-koordinati <math>\ x, y, z </math> ta’ punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura <math>\ T</math> u l-pressjoni <math>P</math> ta’ l-arja.
F’dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna <math>\ (x, y, z) </math> , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja <math>\ (T, P) </math> .

== Definizzjoni ==
Mogħtija s-settijiet <math>\ X</math> u <math>\ Y</math>, [[sottosett]] <math>\ f</math> tal-[[prodott Carteżjan]] <math>\ X \times Y</math> insejħulu '''funzjoni''' minn <math>\ X</math> għal <math>\ Y</math>, jekk għal kull <math>\ x \in X\;</math>, jeżisti element wieħed u wieħed biss <math>\ y \in Y\;</math> tali <math>\ (x, y) \in f</math>. Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b’ <math>\ f(x)</math>: fi kliem ieħor, minflok niktbu <math>\ (x, y) \in f</math> nistgħu nużaw il-''kitba tradizzjonali'' <math>\ y=f(x)\;</math>.

Il-fatt li <math>\ f</math> hija funzjoni minn <math>\ X</math> għal <math>\ Y</math> li tassoċja ma’ <math>\ x</math> l-element <math>\ f(x)</math> nistgħu nuruh billi niktbu:

:<math>\begin{matrix} f: & X & \rightarrow & Y \\ & x & \mapsto & f(x) \end{matrix}</math>

Is-sett <math>\ X</math> (li minnu l-funzjoni <math>\ f</math> "tieħu" il-valuri) hu id-'''dominju''' tal-funzjoni <math>\ f</math>, waqt li s-sett <math>\ Y</math> (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni <math>\ f</math>) hu l-'''kodomiju''' tal-funzjoni <math>\ f</math>.

Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, ''tittrasformah'' fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu ''trasformazzjoni''.

Is-sett 
:<math>\{y \in Y | \exists x \in X | y=f(x)\},</math> 
mogħti mill-elementi <math>\ y </math> tal-kodominju li għalihom jeżisti <math>\ x </math> fid-dominju li tittrasfoma f’ <math>\ y </math> ngħidulu l-'''immaġini''' ta’ <math>\ f</math> u niddenotawh b’ Im<math>\,(f)</math> jew b’abbuż żgħir tal-lingwa b' <math>\ f(X)</math>.

Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, pereżempju lenti; f’dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma’ ġħejun ta’ raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma’ fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini. 

=== Definizzjoni alternattiva ===
Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta’ funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża: 

:Funzjoni hija terna ordnata <math>\ (A,B,f)</math>, fejn <math>\ A</math> hu sett, <math>\ B</math> hu sett ieħor, u <math>\ f\subseteq A\times B \ </math> hu tali <math>\ \forall a\in A\;\ \exists \text{!}b\in B\ |\ (a,b)\in f</math>

== Operazzjonijiet fuq il-funzjonijiet ==
Jekk ikollna żewġ funzjonijiet <math>\ f</math>&nbsp;:&nbsp;<math>\ X</math>&nbsp;→&nbsp;<math>\ Y</math> u <math>\ g</math>&nbsp;:&nbsp;<math>\ Y</math>&nbsp;→&nbsp;<math>\ Z</math> nistgħu niddefinixxu l-'''[[kompożizzjoni]]''' tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta’ <math>\ f</math> fuq <math>\ x</math> u mbagħad l-applikazzjoni ta’ <math>\ g</math> fuq ir-riżultat <math>\ f(x)</math>.

Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b’ <math>\ g\circ f</math>. Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk:

:<math>\,(g\circ f)(x) = g[f(x)]\,</math>

== Notazzjonijiet għall-funzjonijiet ==
Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta’ funzjoni <math>\ F</math> li jikkorrispondi ma’ element <math>\ x</math>, iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b’<math>\ F(x)</math>:

F'dik li nsejħulha '''notazzjoni b’funzjoni prefissa''' niktbu:
:<math>\, Fx := F(x)\,</math> .
F'dik li nsejħulha '''notazzjoni b’funzjoni suffissa''' niktbu:
:<math>\, xF := F(x)\,</math> .

B’dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta’ żewġ funzjonijiet <math>\ F</math> u <math>\ G</math> jistgħu jinkitbu f’4 modi:

:<math>\, (F\circ G)x = G(Fx) \,</math> ,
:<math>\, (F\circ G)x = F(Gx) \,</math> ,
:<math>\, x(F\circ G) = (xF)G \,</math> ,
:<math>\, x(F\circ G) = (xG)F \,</math> .

Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri:
:<math>\, F[x]=F(x)\,</math> .
B’dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta’ l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f’xi programmi ta’ kalkulu simboliku.

=== Funzjonijiet ta’ żewġ varjabbli jew iżjed ===
Meta d-dominju ta' funzjoni <math>\ f </math> ikun il-[[prodott karteżjan]] ta' żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta’ elementi ta’ settijiet l-immaġini tal-koppja <math>\ (x,y) </math> nuruha bin-notazzjoni
:<math>\ f(x,y) </math>
allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu <math>\ f((x,y)) </math>. F'dal-kaz il-funzjoni <math>\ f </math> tissejjaħ '''funzjoni ta’ żewġ varjabbli'''.

Pereżempju, il-funzjoni ta’ [[multiplikazzjoni]] tassoċja żewġ [[numri naturali]] mal-prodott tagħhom: <math>\ f(x,y) = x\cdot y</math>. Din il-funzjoni nistgħu niddefinuha formalment bid-dominju <math>\ \mathbb N\times \mathbb N </math>, is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha.

L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed.

=== Funzjonijiet ta’ iżjed valuri ===
Jekk il-kodominju ta’ funzjoni <math>\ f </math> hu l-[[prodott Carteżjan]] ta' żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f’vettur u nistgħu ngħidulha '''[[funzjoni vettorjali]]'''. 

Eżempju tipiku hu t-[[trasformazzjoni linjari]] tal-[[pjan]], pereżempju:
:<math> (x,y) \to (y,x) </math>.

Funzjoni ngħidulha '''[[funzjoni polidroma|polidroma]]''' fil-każ li r-riżultat ta’ l-operazzjoni hu definit univokament: pereżempju, ir-[[radiċi kwadrata]] ta’ [[numru reali]] posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni
:<math> \mathbb R_+ \to \mathbb P(\R) </math>
li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-[[sett]] taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-[[logaritmu]] definit fuq is-sett tan-[[numri komplessi]].

=== Operazzjonijiet binarji ===
Ħafna operazzjonijiet binarji ta’ l-aritmetika, bħal l-[[addizzjoni]] u l-[[multiplikazzjoni]], huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan <math>\ \mathbb Z\times \mathbb Z </math> għal <math>\ \mathbb Z </math>, u niddeskrivuhomu bin-[[notazzjoni infissa]]: jiġifieri niktbu <math>\ x+y </math> (u mhux <math>\ +(x,y) </math>) biex niddeskrivu l-immagini tal-koppja <math>\ (x,y) </math> bl-operazzjoni <math>\ + </math>.

Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-[[alġebra]] moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti [[strutturi alġebrin]] bħal pereżempju dik ta’ [[grupp]], bħala sett <math>\ X </math> mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati.

== Klassifikazzjoni ==
Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma’ ħafna tipi ta’ funzjonijiet b’karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.

=== Klassifikazzjoni bbażata purament fuq is-settijiet ===
* [[funzjoni injettiva]]
* [[funzjoni surjettiva]]
* [[funzjoni bijettiva]]
* [[endofunzjoni]]
* [[permutazzjoni]]
* [[involuzzjoni]]

=== Klassifikazzjoni bbażata fuq it-tip ta’ dominju u kodominju ===
* [[funzjoni numerika]]
* [[funzjoni diskreta]] 
* [[suċċessjoni]]
* [[funzjoni ta’ varjabbli reali]]
* [[funzjoni ta’ varjabbli komplessa]]
* [[morfiżmu]]
* [[funzjoni ta’ sett]]
* [[funzjoni indikatriċi]]

=== Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet mill-ambitu tal-kalkulabbilià ===
* [[funzjoni rikorsiva primittiva]]
* [[funzjoni kalkulabbli]]
* [[funzjoni rikorsiva]] 
* [[funzjoni rikorsiva totali]]
* [[funzjoni enumerattiva]]

=== Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet ta’ l-analisi infiniteżmali ===
* [[funzjoni armonika]]
* [[funzjoni kontinwa]]
* [[funzjoni pari]] u [[funzjoni dispari]]
* [[funzjoni tiżdied]], [[funzjoni tonqos]] u [[funzjoni monotona]] 
* [[funzjoni polinomjali]]
* [[funzjoni razzjonali fratta]]
* [[funzjoni traxendenti]]
* [[funzjoni differenzjabbli]]
* [[funzjoni lixxa]]
* [[funzjoni analitika]]
* [[funzjoni olomorfa]]
* [[funzjoni antjolomorfa]]
* [[funzjoni meromorfa]]
* [[funzjoni konvessa]]
* [[funzjoni integrali]]
* [[funzjoni ċilindrika]]

=== Xi funzjonijiet magħrufa ===
* [[funzjoni Beta]], [[funzjoni Gamma]]
* [[funzjonijiet trigonometriċi]]: [[senu]], [[kosenu]], [[tanġent]], [[kotanġent]]
* [[funzjoni identità]]

=== Funzjonijiet ta’ interess probabilistiku u statistiku ===

* [[Funzjoni ta’ ripartizzjoni]]
* [[Funzjoni ta’ probabbiltà]]
* [[Funzjoni ta’ densità]]
* [[Funzjoni ġeneratriċi tal-momenti]]
* [[Funzjoni karatteristika]]



{{portal|Matematika|P_math.png|1px}}

[[Kategorija:Matematika]]