Ara s-sors ta' Lemma ta’ Borel-Cantelli

Il-'''Lemma ta' Borel-Cantelli''' hu riżultat fit-[[teorija tal-probabbiltà]] u t-[[teorija tal-miżura]] fundamentali għall-prova tal-[[Liġi tan-numri kbar|liġi qawwija tan-numri kbar]].
Il-lemma hi msemmija għal [[Émile Borel]] u [[Francesco Paolo Cantelli]].

{{Matematika|Lemma ta' Borel-Cantelli||
Ħalli <math>(\Omega, \mathcal{E}, \mu)</math> ikun [[spazju tal-miżura]] u <math>\{S_n\}_{n\in\N}</math> tkun [[suċċessjoni (matematika)|suċċessjoni]] ta' sottosettijiet miżurabbli ta' <math>\displaystyle{\Omega}</math>. Imbagħad għandna:
: <math>(1) \, \sum_{n=0}^{\infty}\mu(S_n)\in\mathbb{R} \Rightarrow \mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right)=0,</math>
fejn <math>\limsup</math> hu l-limitu superjuri tas-suċċessjoni <math>{\displaystyle S_n}</math>:
::<math> \limsup_{n\to\infty} S_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}S_i. </math>
}}

; Prova:
: Bil-monotonija ta' <math>{\displaystyle \mu}</math>, għandna
:: <math>\mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right) = \mu\left({\bigcap_{n=1}^\infty}{\bigcup_{i=n}^\infty}S_i\right) = \lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i>n}S_i\right) .</math>
:Issa bis-subadditività:
:: <math>\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i>n}S_i\right) \leq \lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{i=n}\mu(S_i). </math>
:Għalhekk billi ta' l-aħħar hu l-limitu tal-bqija ta' [[serje(Matematika)|serje]] konverġenti, għandna
:: <math>\mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right) \leq \lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{i=n}\mu(S_i)=0. </math>


In partikulari, fi spazju tal-probabbiltà  <math>(\Omega, \mathcal{A}, \operatorname{P})</math>, għal suċċessjoni ta' [[ġrajja (teorija tal-probabbiltà)|ġrajjiet]] <math>\{E_n\}_{n\in\N}</math>, għandna:
: <math> (1)\sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{P}(E_n)\in\mathbb{R} \Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=0.</math>

Fil-każ ta' spazji tal-probabbiltà, hi veru wkoll il-propożizzjoni li ġejja (spiss imsejjħa  "it-tieni lemma ta' Borel-Cantelli"):
: <math>(2) \, \sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{P}(E_n)=\infty</math> u <math>{\displaystyle E_n}</math> huma [[ġrajja (teorija tal-probabbiltà)|indipendenti]] <math>\Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right)=1.</math>


; Prova ta' l-asserzjoni 2

::<math>\operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=\lim_{n \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcup_{i\geq n}E_i\right) ;</math>
::<math>\operatorname{P}\left(\bigcup_{i\geq n}E_i\right)=1-\operatorname{P}\left(\bigcap_{i\geq n}\overline{E_i}\right)= 1-\lim_{k \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcap_{i= n}^k\overline{E_i}\right).</math>
:Issa bl-indipendenza u d-diżugwaljanza <math>e^{-x} \geq 1-x</math>; 
::<math>1-\lim_{k \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcap_{i= n}^k\overline{E_i}\right)=1-\lim_{k \to \infty}\left(\prod_{i= n}^k \operatorname{P}(\overline{E_i})\right)=1-\lim_{k \to \infty}\left(\prod_{i= n}^k \left(1-\operatorname{P}(E_i)\right)\right) \geq 1-\lim_{k \to \infty} \prod_{i=n}^k e^{-\operatorname{P}(E_i)}</math>
::<math>=1-\lim_{k \to \infty}e^{-\sum_{i=n}^k \operatorname{P}(E_i)}=1,</math>
:billi s-somma tiddiverġi u hekk l-esponenzjali tersaq lejn 0. Għalhekk:
::<math>\operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right) \geq \lim_{n \to \infty}1=1 \Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=1</math>

Fi kliem ieħor jekk suċċessjoni ta' ġrajjiet għandha probabbiltà sommabbli, kważi żgurament, in-numru ta' drabi li jiġru  hu finit. Jekk minflok il-probabbiltà mhijiex sommabili u l-ġrajjiet huma indipendenti kważi żgurament in-numru ta' drabi li jiġru hu infinit. In partikulari f'numru infinit ta' provi indipendenti kull ġrajja b'probabbiltà pożittiva tiġri numru infinit ta' drabi.

== Ħoloq esterni ==
{{portal|Matematika|P_math.png}}
*[http://planetmath.org/encyclopedia/BorelCantelliLemma.html Prova fuq Planet Math]

[[Kategorija:Matematika|Borel-Cantelli]]
[[Kategorija:Probabbiltà u statistika|Borel-Cantelli]]